Quantum Diaries

私ども、GEACE開発チームの何人かが、今オランダのアムステルダムに来ています。アムステルダムにはNIKHEFというオランダの国立の高エネルギー研究所があり、そこの理論家と議論しています。GRACEシステムは加速器実験でおきる素粒子反応の確率を理論に沿って精密に計算して実験と比較することで、理論の正しさや、限界を探る計算プログラムシステムです。GRACE システムは主に２つのパーツからできていて、記号処理を行う部分と、それにより生成された公式を数値化する部分です。

NIKHEFには素粒子物理学で広く使われている記号処理プログラムを開発している理論家がいるのですが、GRACEプログラムも記号処理部分のエンジンとして彼のプログラムを使っています。彼とはすでに15年のお付き合いがあり、仲良くしていただいています。記号処理プログラムとしてMathematicaがよく知られていますが、その著者も理論物理学者です。物理学はしばしば数学に研究課題を提供することが知られています。たとえば、デルタ関数や、経路積分などがそれにあたります。そもそも、微積分も物理学の研究から生まれました。でも、課題の提供にとどまらず、数学の問題、とくに大きなスケールの問題を解くための優れた数式処理プログラムも物理学者により提供されてきました。

GRACEシステムがはきだす公式はとても巨大です。ひとつの素粒子反応の反応確率を計算するコードは容易に数十ギガバイトを超えてしまいます。NIKHEFの理論家の数式処理プログラムはガンマ行列やレビ・チビタ テンソルといった数学対象の公式がたくさん教え込まれていて、そのためGRACEの吐き出す公式を飛躍的に短くする可能性があります。今回も、新しい公式を導入するために相談に来ました。

来週は、フランス人やドイツ人の理論家がやってきて、私たちと合流します。彼らもNIKHEFの数式処理プログラムのヘビーユーザーであるため、このプログラムを使った経験や、問題点に関して意見交換をすることになっています。

We, some of the GRACE team, are staying in Amsterdam to have a meeting with theorists from NIKHEF, National Institute for Subatomic Physics. The GRACE system consists from two parts, treatment of formula in symbolic way and numerical evaluation of the symbolic expression.　

A theorist from NIKHEF has developed the symbolic manipulation system, which is widely used in the particle physics. You may know the Mathematica, of which author is also a particle theorist. Physicists not only offer the new mathematical objects like the delta-function or the path integral, but also the symbolic manipulation systems to treat large scale formula.

The GRACE system produces the formula to calculate the probability of the particle reactions, of which output size becomes more than several ten GB for a reaction. The system developed in Amsterdam equips with a set of formula to treat the special mathematical objects like gamma matrices and Levi-Civita tensor. This feature has great possibility to shrink the output from the GRACE system.

Next week, French physicists and German physicists are also joining to Amsterdam and we have a meeting to discuss the issue about LHC physics. They are also heavy users of the symbolic system and we will exchange ideas to use the system  and problems for the LHC.

私たちGRACEグループは8月31日から9月３日にかけて高エネルギー加速器研究機構において「GRACEスクール2009」を開きます。

http://minami-home.kek.jp/GRACE-school/index.html

GRACEスクールでは研究者を目指す若い方々が実験で押さえておくべき素粒子反応の断面積を自ら計算することができ、また実験解析に必要な擬似事象生成プログラムを書けるようになることを目的としています。

複雑な素粒子反応の断面積や、高次効果を取り入れた断面積の計算を行うために、ファインマン振幅の自動計算システムGRACEが開発されています。スクールではGRACEシステムを紹介し、使用するにあたっての注意点を学びます。特に、光子やグルーオンなどが関係するときに生じる赤外発散や、質量特異性の取り扱いについて具体的に学び、実践的データ解析の方法を習得します。

スクールは講義と実習形式になっています。

http://minami-home.kek.jp/GRACE-school/about_school.html

GRACEスクールへの参加には事前申込が必要です。URLに記してある申込先へメイルで送付するか、私にご連絡ください。

We, GRACE group, have a plan to hold ‘GRACE school 2009’ at KEK from 31^st of Aug. to 3^rd of Sept. In this school, it is the purpose for young high energy physicists to calculate the necessary cross section in high energy physics and to be able to generate the simulated events of the particle reactions by themselves.

To investigate the higher order effects, the GRACE system, an automatic calculation system of Feynman amplitude, has been developed. In this school the GRACE system is introduced and you will learn treatment of the infrared divergence and the mass singularity of the photon or gluon radiation.

Unfortunately, this time, the school will be held in Japanese. If you have an idea with Japanese, please refer the following URL;

http://minami-home.kek.jp/GRACE-school/index.html

and take contact with me.

There are more than 15,000,000 families in Tokyo area. TV viewer survey is performed with 600 families as samples in this region. One wonders whether 600 families are enough as representative of Tokyo area

Statistics tells us the TV viewer survey should be understood with an error bar. The error bar can be calculated with the following equation;

error bar = ±1.96×( p×(1－p)/n)^(0.5) with 95% confidence level(CL),

or

error bar = ±2.58×( p×(1－p)/n)^(0.5) with 99% CL,

where n is a number of effective samples and p is the rate. If we put n=600 and p=0.2, then the rate should be understood (20±3.2)% with 95%CL, which means that the rate is located between 16.8% and 23.2% in the probability of 95%. It is interesting that the case of 50% rate has the largest error of ±4.0%.

Now one can understand that why 600 families are picked up. If one likes to have 10 times better accurate rate, number of sampled families should be increased 100 times, then 60,000 families have to be surveyed. It costs much.

Sampling of 600 families seems to be so tiny, but the result from 600 families has enough meaning with an error bar of 3% or 4%. Conversely, it is stupid to assign great value to the difference of the rate in a few-percent level.

TV viewer rate has another good example of the error bar has important role to read the data. One needs to pay attention to the error bar more. It even has an essential role for physicists to see the results from experiments.

関東には1500万世帯以上が住んでいますが、テレビ視聴率はなんと600世帯からのデータで計算されています。600世帯の調査で、1500万世帯の動向がわかるなんて、どういうこと？と思いますよね。

ところが統計学に基づくと600世帯で十分意味があることがわかります。というのも、視聴率はその誤差を伴って初めて意味があるということです。その視聴率の誤差は次の公式で計算できることがわかっています。

誤差の大きさ= ±1.96×( p×(1－p)/n)^(0.5) 　（ただし、95%の信頼度で） ,

または、

誤差の大きさ= ±2.58×( p×(1－p)/n)^(0.5) 　（ただし、９９％の信頼度で）,

ここで、ｎが有効回答数、あるいは視聴率の場合は調査対象となった世帯数に対応し、p はその調査の結果得られた視聴率を表します。もし視聴率が２０％でしたという報告があったとき、上の式にしたがって計算すると、95%の信頼度で、視聴率は(20±3.2)%と誤差棒つきで考えることとなります。その意味するところは、600世帯のセットを変えて、100回の調査を実行したら、そのうちの95回の結果は16.8%から23.2%の間に入ってくるでしょう、という予測をしているということです。この式で面白い点は、視聴率が50%のときが4%と一番誤差棒が大きくなるということです。

この式を見ると、何故600世帯が代表と考えられるのかがわかります。もし誤差棒を10分の1に縮めたかったとすると、それまでのサンプリング数を100倍にして調査を行う必要が起きてしまいます。というのも、式の中でサンプリング数が平方根の中に入っているからです。すると6万世帯に自動聞き取り装置を設置しないといけなくなり、たいへんコストがかかってしまい、現実的ではない、となるわけです。

誤差棒が３～４％ついているのだと理解して視聴率を眺めれば、600世帯を対象とした調査にも十分な意味があることです。前回少し誤差棒の重要性に触れましたが、データを見るとき、もっと誤差棒に注目する必要があります。物理学者にとっては結果の中央値よりも誤差棒の大きさ、また、どの理由からその誤差棒がついているか、の点に意識を払っています。

History of tau-mass measurement

I picked up two figures from a PDF file delivered by PDG.

This plot shows a historical perspective of
measured values of mass of tau-lepton as a function of published data. The first measurement reported 1806± 20 MeV/c^2. The second one did 1784 ± 4 MeV/c^2.

The center values of the measurements seem drifted. One should, however, realize importance of error bars. The first measurement has 20 MeV as error for the center value, which means expected true value can be located between 1806-2*20=1766 MeV/c^2 and 1806+2*20=1846 MeV/c^2 in 95% of time. The most up-dated one, 1776.84 MeV/c^2 is actually located in this range. So whole measurements seem consistent.

History of neutron-lifetime measurement

On the other hand, the second plot, which shows another history of measured values of life time of neutron, is bit funny.

In 60’s, it was measured as 1110 +/- 30 sec. In the beginning of 70’s, one experiment reported the center of value was different from previous ones systematically as 920±15 sec. In 90’s, better
observations appeared and finally it is 885.7 ± 0.8 sec.

The difference between 1110 and 885.6 is around 225, which is 7 times larger than 30, the error of 1110. From the statistics consideration, it is very low probability to have such a shift. It seems the first cluster of experiments must have not only statistical error but also systematic error. No one knows, however,at this point what happend there.

These examples are quite instrutive in the following poit;

The center of values themselves from measurements has meaningless. Just the value with a bandwidth constructed by error bar is important.

今回もPDGサイトにあるPDFファイルから２つの図を持ってきました。

最初の図は、τ粒子の質量の測定値が歴史的にどう変わってきたかを示すものです。最初の実験はその質量を1806± 20 MeV/c^2と報告しました。で、2番目以降はだいたい1784 ± 4 MeV/c^2.そして結局現時点でのベスト値は1776.84±0.17 MeV/c^2となっています。

この絵をみるとずいぶんと質量の値が変わってきているように見えます。でも、実は中央値の次の誤差の値に注目しなければいけません。最初の値には20MeVという誤差がついていますが、その意味は、τ粒子の質量の真の値は95%の確率で、1766 MeV/c^2（=1806-2*20）と1846 MeV/c^2(=1806+2*20)の間にあるだろうということです。最新の値、1776.84±0.17 MeV/c^2はその中に入っていますから、τの質量の測定は一貫して矛盾なく、そして精度がどんどんとよくなっていることを示しています。

一方、2つ目の図は、やはり測定値の歴史的推移を示していますが、今度は中性子の平均寿命の測定に関してです。60年代にはだいたいどの測定も1110 +/- 30秒ということでした。ところが70年代に入ってひとつの実験がそれまでの測定値とやや異なった値を発表すると、920±15秒あたりとなりました。現在は885.7 ± 0.8秒ということになっています。

τ粒子の質量のときのように測定誤差を考えても、最初の1110秒と885.6秒とでは、約225秒の違いがあり、これは1110秒の時の誤差30秒の7倍もあります。統計的にはこんなに中央値が変わってしまう確率はものすごく小さいことになります。今となってははっきりとはわからないのですが、60年代の測定にはなにか系統的な測定誤差があったのかもしれません。

この２つの例は以下のような点でとても教訓的で、たぶん、そのためにPDGはこういった測定の歴史的推移の図を載せているのだろうと思います。

測定値の中央値そのものは意味がなく、誤差を含めた幅をもった値のみが重要である。

We still play with PDG site. Let’s see the property of proton. Please click “Baryon” after “Particle Listing” to enter the world of baryons, which are the family of three-quarks bound states. You will click “p” for proton from “N (Nucleon) baryons” to get a PDF file on proton.

Again, a lot of properties of proton are reported. Let’s focus on the value of the neutrality of matter;

(q_p + q_e )/ e < 1.0 x 10^-21.

of which result was got from observation on neutrality of the sulfur hexafluoride, SF₆ (Ref. Physical Review A (1973) 1224).

We can see the difference of absolute value of charges between proton and electron is less than 10^-21! In other words, in such a precision, the absolute charges of proton and electron are identical. Of course, atoms should have neutrality, but interesting point is the size or level of neutrality.

Proton is constructed of 2 up-quarks and one down-quark .The standard theory assumes up-quark has +2/3 charge, down-quark has -1/3 charge in the unit of the absolute charge of electron. Of course electron is assumed to have -1 charge.

It is, however, just assumption,then ,as usual, experiments have been performed to check.

This assumption has no theoretical bases, the following becomes a question; why absolute values of electron and proton charges have the same value. This is one of reasons to go to the beyond the standard theory or the grand-unified theory (GUT), in which electron and quarks should have reason for their charge.

In addition, we have another necessity for the relation of -1, +2/3, -1/3 among electron, up-quark and down-quark. You may have heard about the word, ‘generation’. Usually it is explained that electron-neutrino, electron, up-quark and down-quark form the 1st generation, muon, muon-neutrino, muon, charm-quark and strange-quark do the 2nd one, and finally tau- neutrino, tau, top-quark and bottom-quark do the third one.

The predictable theory must have such a group. You can make summation of the total charge in each generation: electron-neutrino has 0, electron has -1, up-quark has +2/3, but there are three types up-quarks, red up-quark, green up-quark and blue up-quark, then the charge from up-quark in total is +2/3×3=+2. Also there are three types of down-quark, then -1/3×3=-1. As a result, the total charge of each generation is 0-1+2-1=0!!

I said “predictable theory”. If the sum of charge in each generation differs from 0, then that theory loses the predictability, i.e., it just gives us the infinite probability of the reaction, which has no meaning at all.

That’s why the result on the value of the neutrality of matter is important and this is unknow part of the structure of nature.

もう少しPDGで遊んでみます。今度は陽子について見てみましょう。”Particle Listing”から”Baryon”をクリックして３つのクォークからなるバリオン粒子の世界に入ってみます。で、”N (Nucleon) baryons”から陽子（proton）を意味する”p”をクリックすると、陽子に関する測定値が書いてあるPDFファイルが開きます。

ここでは、”the value of the neutrality of matter”(物質の電荷の中性さの度合い)に注目してみます。;

(q_p + q_e)/e < 1.0 x 10^-21.

これは六フッ化硫黄ガスを使ってその中性度を測った実験からの結果です。（論文はPhysical Review A (1973) 1224です。）

電子と陽子の電荷の絶対値の差は10^-21以下の違いという結果です。逆に言うと、電子と陽電子の電荷の絶対値はこの精度までまったく同じといってよいということです。御存知のように、陽子は素粒子ではなく、２つのアップクォークとひとつのダウンクォークからできています。標準理論では、アップクォークは電子の電荷量の絶対値を基準にして、+2/3の電荷を持っており、ダウンクォークは–1/3です。もちろん電子は–1．

しかし、これは理論的な仮定なので、例によって実験が行われてチェックされるというわけです。仮定と申しましたが、それは結局、明確な理由を想定していないことと同じです。クォークが組み合わさった陽子と電子がたまたま同じ電荷で、逆の符号を持っていて原子を構成して驚くべき精度で中性になっている。何故由来の違う電子とクォークでそんなことが起きているのか？これに答えたいとして考えられたのが、大統一理論（GUT）です。

もともと原子が中性なのだから、そういうものでしょう、とも言えるのですが、実はこの驚くべき一致が理論の根本を握っているという事実があります。問題を整理すると、何故、電子、アップクォーク、ダウンクォークの電荷が-1,+2/3,-1/3という関係にあるのか？

ということですが、実はこれが「世代」という考え方に関係があります。よく素粒子の説明で「世代」という言葉がでてきます。電子ニュートリノ、電子、アップクォーク、ダウンクォークで組を作っていて、それを「第１世代」と呼びます。地球上の物質はほとんど、この世代でできています。加速器などで、エネルギーをあげると、もっと重い素粒子が組みを作っていることがわかり、ミューオンニュートリノ、ミューオン、チャームクォーク、ストレンジクォークです。それが「第２世代」。もっとエネルギーをあげると見えてきたのが、「第3世代」で、タウニュートリノ、タウ、トップクォーク、ダウンクォークです。

「組をつくる」とはどういうことでしょう？それが、組毎の電荷の和と関係があります。たとえば、「第1世代」の電荷は、電子ニュートリノは０、電子は-1、アップクォークは+2/3、でも実はアップクォークは3つ存在して、赤アップクォーク、緑アップクォーク、青アップクォークなので、３倍になり、+2/3×3=2となります。同じようにダウンクォークも赤・緑・青の３種が存在するので、-1/3×3=-1です。それで第１世代の電荷を全て足すと、0-1+2-1=0、となり、0になります。

組になっている素粒子の電荷の和が厳密に０になっていないと、その理論で何か詳しい計算をしたとき、たとえば素粒子反応の確率を計算すると、答えは無限大ということになってしまうことがわかっています。これはつまりその理論では何も現象を説明することができないことを意味します。電子とクォークの電荷の関係がきっちりと合っていないと、理論が構成できない。

こういったわけで、原子の中性度というのは、理論を作るうえで大変重要な性質になっています。電子と陽子という全く異なる起源を持つ素粒子にそんな厳密な関係が要求されているということには何か意味があるのだろうと考え、それが大統一理論を作る大きな動機のひとつとなっています。

This is continuation of the previous blog. Electron has various nature. PDG is reporting the following values;
1) Electron mass:0.510998910 +/- 0.000000013 MeV/C².
2) Mass difference between electron(e^—) and positro(e⁺) : (M_e⁺–M_e^—)/(M_e⁺+M_e^—) < 8×10^–9.
3) Charge difference between e⁺ and e^— : (q_e⁺–q_e^—)/e < 4×10^–8.
4) Electron magnetic moment(g) anomaly: (g-2)/2=(1159.65218111 +/- 0.00000074)x10^–6.
5) g anomaly difference between e⁺ and e^—: (g_e⁺-g_e^—/g(average) = (-0.5 +/- 2.1)x10^–12.
6) Electron dipole moment(d): d = (0.069 +/- 0.074)x 10^–26 ecm
7) Electron mean life from e^— to electron neutrino and photon : > 4.6×10²⁶ yr .

You see electron is so stable more than 10²⁴ years from 7) .

How about the size of electron? As a matter of fact, there is no direct report on it. Alternatively, there is a measurement on the compositeness of electron. In the framework of the standard theory, electron and positron are assumed as point-like particle, which means they have no spread and no structure in space, and they can be scattered just via photon.

But one can consider that we just can’t see the size of electron because we have poor accelerators. If electron has a structure, we must observe the reaction of direct scattering of electron and positron using enough magnification by the more powerful accelerator.

This effect can be introduced to put assumed compositeness scale into the equation of electron of which dimension should be the energy. Experiments have measured the angular distribution of electron or positron through the reaction: e⁺ e^— going to e⁺ e^—, so called Bhabha scattering, and have seen the difference from the distribution predicted by the standard theory. Up to now, the distribution is consistent well with the theory, then the statistical treatment tells us the lower limit of the compositeness.

In PDG, it is reported in “Other searches (SUSY, Compositeness, …)” after “Particle Listing”, the scale of contact interactions should be more than 8 TeV. Because the corresponding length is inverse of energy scale, it means that electron has no structure more than in 1/10¹⁸ m.

この話は前回からの続きです。電子はいろいろな性質を持っており、PDGサイトでは次のような測定値が報告されています。

1) 電子の質量:0.510998910 +/- 0.000000013 MeV/C².
2) 電子と陽電子の質量の差
:(M_e⁺–M_e^—)/(M_e⁺+M_e^—) < 8×10^–9.（つまり差は観測されていなし）
3) 電子と陽電子の電荷の差:(q_e⁺–q_e^—)/e < 4×10^–8（やはり差は観測されていない）
4) 電子の異常磁気モーメント（２からのずれ）: (g-2)/2=(1159.65218111 +/- 0.00000074)x10^–6. （非常に精度よく測定されています。）
5) 電子と陽電子の異常磁気モーメントの差: (g_e⁺-g_e^—/g(average) = (-0.5 +/- 2.1)x10^–12.（これも差はないということ）
6) 電子の2重極モーメント(d):d = (0.069 +/- 0.074)x 10^–26 ecm
7) 電子がニュートリノと光子に崩壊する平均寿命: 4.6×10²⁶ 年以上（つまり崩壊は観測されていない）

７）から電子は10²⁴年以上安定して、崩壊しないことが測定されてることがわかります。

では、電子の大きさは測られていないのでしょうか？実は、直接電子の大きさを測ってはいないのですが、その代わり電子を複合粒子と仮定した測定が報告されています。標準理論の枠組みでは、電子や陽電子は点状の粒子で空間的に広がりをもたないものと仮定されています。また、電子と陽電子が反応するときも光子を通してのみ散乱するとしています。

しかし実験的には、まだまだエネルギーの低い加速器を使って実験しているから、電子のサイズを測ることができないのだろうと、考えることもできます。電子に何らかの構造があって、よりエネルギーの高い加速器、言い換えればより倍率の高い顕微鏡があれば電子や陽電子が光子を媒介せずに、直接内部の要素を交換して反応を起こす現象を観測できはしないか、と考えるのです。

電子の方程式に電子の複合性が見えてくるエネルギースケールを導入することで、そのような効果を取り入れることができます。実験的には、電子と陽電子が衝突して、電子と陽電子に散乱される反応「バーバー散乱」を使います。散乱して測定器を通った電子や陽電子の軌跡の角度分布を観測することで分かります。もしその分布が標準理論の予測する分布と異なっていたら、電子の構造を示すエネルギースケールが見えることになります。しかし、現在までのところどの実験でも散乱の分布は標準理論の予測とよく合っていますので、統計的扱いにより、電子の複合性を示すエネルギースケールの下限値しか得られていません。

PDGでは、”Particle Listing”で、”Other searches (SUSY, Compositeness, …)”をクリックすると実験結果が報告されており、それによると、そのエネルギースケールの下限値は８000GeVであることがわかります。このエネルギースケールの逆数が”長さ”に対応するので、結局電子の大きさは1/10¹⁸ m以下であると測定されていると言えるのです。

A lot of experiments are under going and new improved values of measurements are going to be reported. Do you know where physicists pick up the most updated and reliable values? There is a PDG(Particle Data Group) site to have a great database on the measured properties of particles, which is funded by US DOE,US NSF, CERN,MEXT(Japan), INFN(Italy),MEC(Spain) and IHEP & RFBR (Russia).

http://ccwww.kek.jp/pdg/ is one of the mirror home pages of PDG.

From ‘Particle Listing’ please enter to the world of particles. You will find “electron” after “LEPTONS (e, mu, tau, neutrinos, heavy leptons …)” and see “J=1/2” in the headline which means electron is a spin-half particle. For example, the most updated value of the mass of electron in MeV/c^2 unit is 0.510998910±0.000000013 where c means the speed of light.

You may not be familiar with MeV unit. MeV means Mega electron Volts. If you like to check the conversion factor from ‘kg’ to ‘MeV’, please visit “Reviews, Tables, Plots” page from the top page. You soon find it in “Physical Constants (Rev.)” after “Constants, Units, Atomic and Nuclear Properties”, which tells us

1 eV/c^2 = 1.782 661 758(44) × 10^{-36} kg, then

the electron mass in kg unit should be 0.910938 x 10^{-30}kg !!

Please also notice the precision of the value of the electron mass has 7 effective digits. You must wonder how one can get such one. PDG also tells you about the reference of the experiments, too. The previous number was the averaged one of various experiments reported by Peter J. Mohr, Barry N. Taylor, and David B. Newel in arXiv:0801.0028(preprint server) entitled “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants:2006.” Each experiment to measure the mass of electron can be seen, for example, in the paper of Physical Review Letters Vol. 88, 0011603 in 2001 by Thomas Beier, Hartmut Ha”ffner, Nikolaus Hermanspahn, Savely G. Karshenboim, H.-Ju”rgen Kluge, Wolfgang Quint, Stefan Stahl, Jose’ Verdu’, and Gu”nther Werth where they compared Larmor frequency of the electron bound in a 12C^{5+} ion with the cyclotron frequency of a single trapped 12C^{5+} ion.

Please enjoy PDG trek.

世界では、今この瞬間にもいろいろな実験が行われていて、次々と新しい結果が報告されます。では、そういった最新の測定値はどれを信頼して使えばよいのでしょう？実は米国やCERN,日本、イタリア、スペイン、ロシアの各国の関係機関が出資した、そういった最新の物理結果を配信するグループ、PDG（パーティクル・データ・グループ）があります。

たとえば、http://ccwww.kek.jp/pdg/はそのPDGのホームページの一つです。

トップページの”Particle Listing”から、入って、”LEPTONS (e, mu, tau, neutrinos, heavy leptons …)”に入り、更に”electron”にたどり着けば、それが電子のいろいろな性質に関する測定値のページとなります。”electron”の見出しのすぐ横に”J=1/2″と書いてありますが、それは電子がスピン1/2の粒子であることを示すものです。ちょっと下の方を見ると、MeV/c^2という単位で計ったときの電子の質量の値、0.510998910±0.000000013を見つけることができるでしょう。

MeVというのは、100万電子ボルトのことです。アインシュタインの式、E=mc^2により、エネルギーの単位、電子ボルトを光の速度cの二乗で割れば、それば質量（m）になります。でも換算係数がないとピンとこないでしょう。その換算係数もこのサイトで探すことができます。トップページから”Reviews, Tables, Plots” に入り直して、”Constants, Units, Atomic and Nuclear Properties”の中の”Physical Constants (Rev.)”に行けば、

1 eV/c^2 = 1.782 661 758(44) × 10^{-36} kg

と載っています。ですので、電子の質量は0.910938 x 10^{-30}kgということになります。上記の電子の質量の桁数にご注目ください。なんと、7桁も有効数字があります。こんなに精度よくどうやって測定したのだろうと思われることでしょう。PDGは測定値のみではなく、その測定を行った実験の論文も紹介しています。先ほどの7桁の電子の質量は、Peter J. Mohr, Barry N. Taylor, and David B. Newelたちが、それまでに行われた電子の質量に関する測定値を平均して得た値で、プレプリントサーバーに投稿した”CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants:2006.”という題名の論文（arXiv:0801.0028)に掲載されていた値です。その平均値のもととなる個々の測定についても記述があります。たとえば、Thomas Beierらが行い、学術論文誌Physical Review Lettersの2001年の88巻の0011603に発表された、炭素イオン12C^{+5}に捕獲された電子のラーモア振動数とサイクロトロン振動数との比較から得られた値、0.510998901±0.000000020も載っています。

素粒子の性質に関する測定値ならなんでも載っています。ちょっと眺めてみると面白いですよ。

S. Ramanujan( from http://www.math.rochester.edu/u/faculty/doug/)

I was asked by a friend of mine to read the blog to give him an example that numbers are interesting. It reminds me a very famous episode of S. Ramanujan, who was an Indian mathematician in the early 20th cent. He found tremendous numbers of mathematical formulas or relationships among numbers. When he was in the bed of a hospital, an English mathematician, G.H. Hardy visited his room, and said that he took a taxi of which plate number was 1729, and that this number was quite trivial one. But Ramanujan immediately answered that 1729 was quite interesting one, because it was the minimum number which could be presented by the sum of two cubic numbers in two ways, as follows;

1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^3.

It is natural to have a question why Ramanujan so quickly remembered 12^3=1728. Those days, Fermat’s Last Theorem, relating to cubic numbers, was one of the center problems among mathematicians. So it is not so strange, in some sense.

R.P. Feynman( photo by Magnus Waller)

This question is, however, solved by R.P. Feynman who was an American physicist, establishing the theory of electron and photon, quantum electrodynamics(QED) in the middle of 20th cent. Almost the same number appears in the book, ‘Surely you are joking, Mr. Feynman!’ That number is 1729.03.

At a restaurant in Brazil, Feynman had to compete against a Japanese who was very good at counting on the abacus. The problem was to calculate cubic root of 1729.03. Feynman immediately remembered 1728 = 12^3 because a cubic foot is 1728 cubic inches. Then Feynman used Taylor expansion to get better accurate solution, 12.002, before the Japanese got a result with his abacus. We, Japanese, do not use inch-feet system. But we can learn from this story that 1 foot is 12 inches! I wonder a large fraction of Europeans or Americans must know well about 1728=12^3.

But it was just Ramanujan who realized 1729 had such an interesting nature. Especially it is not trivial to prove 1729 is the minimum one. In this context, it is natural to agree with another English mathematician, J.E. Littlewood to say “Every positive integer is one of Ramanujan’s personal friends”.

このブログを読んでくださっている知り合いの方から、数字に関する面白い話はありますか？と聞かれました。それで思い出したのが、20世紀前半に活躍したインドの数学者のラマヌジャンのとても有名は話です。彼は次々と新しい公式や、数の関係を証明無しで量産しました。彼が入院していたとき、彼をイギリスに呼んだ数学者のハーディが見舞いに訪れたときの話です。ハーディの乗ったタクシーのナンバーが1729で、なんということもない数だね、と言ったところ、ラマヌジャンは直ちに、1729は2通りの仕方で2つの立方数の和となっている最小の数という面白い数です。と答えたというのです。

1729=12^3+1^3=10^3+9^3．

この話で思うのは、ラマヌジャンは何故12^3=1728を憶えていたのだろう、ということです。ただ当時は立方数に関係のあるフェルマーの最終定理がまだ証明されておらず、ラマヌジャンもいろいろと計算していたということなので、憶えていてもそんなに奇妙ではないということはあります。

ところが、この疑問に答えていたのが、20世紀に活躍したアメリカの物理学者、ファインマンでした。彼は電子と光の量子力学、量子電磁気学（ＱＥＤ）を構築した一人として有名です。その彼の著書「ご冗談でしょ、ファインマンさん！」の中で、ほとんど同じ数のエピソードがでてきているのです。彼の本の中での数は、1729.03なのですが。

ファインマンがブラジルのとあるレストランで食事を取ろうとしたとき、そのレストランにいた算盤がたいへん得意な日本人と計算の競争をする羽目になります。その計算問題とは、1729.03の立方根をどちらが早く計算できるか？といった競争でした。ファインマンはすぐに、1立方フィートが1728立方インチであることを思い出し、その答えが12に近いはずとし、より正確な答えを求めるために、テイラー展開により補正を計算し、算盤の名人よりも素早く12.002を求めたのでした。我々日本人はインチやフィートを使っていないので知らないのは当たり前なのですが、この話から、１フィートが12インチであることがわかります。つまり、ヨーロッパやアメリカの人にとっては12の3乗が1728であることはよく知られていることなのでは、ということなのです。

しかし、逆に言えば、12の3乗が1728ということが知られていても、1729が面白い数だと最初にきがついたのはラマヌジャンだったということです。特に、1729がそういった性質をもつ最小の数であることを示すのは結構厄介です。この1729のエピソードを聞いたハーディの友人で、やはり数学者のリトルウッドは「どの正の整数もまことにラマヌジャンの親友のようなものだな」と言ったということに素直にうなずけます。

TILC09, an international workshop was held in Tsukuba, Japan, from the 17^th of to the 21^st of April, which was the eleventh in the series of meetings on the physics and detector of the ILC organized by the Asian Committee for Future Accelerators (ACFA) joint Linear Collider Physics and Detector Working Group. It also represented the eleventh of the major meetings to host the ILC Global design effort (GDE) discussion which pursues the development of the design and project planning for the ILC accelerator systems. More than 200 physicists got together and discussed physics on ILC and the action plan toward construction of the ILC in the international framework. (http://tilc09.kek.jp/)

Posters of TILC09(illustrator Yuji Kaida) and of a public lecture

This workshop series has a tradition to have a public lecture as a satellite session. The date was also coincident with a week of science-technology outreaching set by theMinistry of Education, Culture, Sports, Science and Technology, then it was intended to invite families to the fun world of physics, of which title was “Missing of anti-matters is the greatest magic of the universe” with three presenters, Prof. Hitoshi Murayama from Institute for the Physics and Mathematics of the Universe (IPMU Tokyo Univ.), Dr. Takeo Higuchi from KEK as a member of Belle collaboration and Mr. Tomohiro Maeda, a Close Up Magician.

In the part 1, Prof. Murayama explained matter and anti-matter using Pikachu and anti-Pikachu, which was enough to pull children into the physics. He also explained the concept of “ energy”, the kinetic energy and potential energy with short movies like http://www.youtube.com/watch?v=FdCJzO3w7_M.

After his presentation, three presenters were on the stage to make a panel discussion. Mr. Maeda played in total three magics which were related to the energy conservation, the prediction of the phenomena and the reaction of particles. Dr. Higuchi told people that anti-matter is other specialty goods of Tsukuba city in the sense that KEK leads the world in positron production.

Around 300 questionnaires were back among 500 audiences. One-fifth was young people less than 20 years old. Compared with the age distribution in usual event on physics or science-café, it was quite young. In the end, several children raised their hand to ask questions. I was personally afraid no questions by them, but it was needless fear. Even a 10 years old boy said he wished to be a physicist of KEK. More young Japanese are moving away from the sciences. It is important to attract them to the physics world with various way. It’s also important to remember that the questionnaires told us that two-thirds were the first-time participants to the event on the particle physics. They went back home with words, ‘anti-matter’, ‘Higgs particle’, ’accelerator’ and ‘ILC’ in mind.Please also visit http://tmaeda.exblog.jp/9615443/ of Mr. Maeda’s web page (in Japanese) to see his followers’ opinion for this event.

It is told that the movie of this event is planned to be posted in near future.

先日の4月17日から21日にかけてつくばの国際会議場エポカルでTILC09という国際会議が行われました。これはアジア域の加速器計画を検討するアジア将来加速器委員会が組織するILCの物理と測定器を議論する会議として11回目のものであり、また、ILC加速器設計と遂行計画を練る国際設計チームであるGDEの11回目の会議の両方を兼ねたものでした。200名以上の物理学者が集まり、ILCの物理学や測定器開発、実行計画について熱い議論がありました。(http://tilc09.kek.jp/)

この会議のシリーズでは「パブリックレクチャー」と称して会議開催中に高エネルギー物理学やILCに関心を持っていただく講演会を行います。ちょうど開催期間が今年の科学技術週間であったこともあって、「反物質の消滅は宇宙史上最大のマジックショー」と題した催しものを行いました。この題からもわかりますように、今回は家族連れを主な対象とし、物理に親しみを持っていただこうという試みでした。出演者は東京大学の数物連携宇宙研究機構の機構長でいらっしゃる村山斉さん、BELLEグループのメンバーでKEKの樋口岳雄さん、そして世界的に有名なクロースアップ・マジシャンの前田知洋さんでした。

まず、村山さんの基調講演は、物質・反物質の説明から始まりましたが、それはピカチュウ・反ピカチュウを例に使ったもので、もう子供たちは大喜びでした。物質・反物質の消滅の説明には「エネルギー」も説明しないといけませんが、村山さんは「うんどうエネルギー」と「いちエネルギー」を楽しい図や動画を使って説明されました。説明動画のひとつは、http://www.youtube.com/watch?v=FdCJzO3w7_Mでした。

その後、3名の出演者によるパネルディスカッションとなり、前田さんはエネルギー保存則、現象の予言、素粒子反応といった物理に関連する３つのマジックを披露してくださいました。また樋口さんは、KEKBが世界中で最もたくさんの陽電子（反電子）を生成していることを、反物質はつくば市の特産品のひとつであると、紹介してくださいました。

約500名の聴衆の皆様のうち、300名ほどがアンケートに答えてくださいました。その集計結果によると、10代の参加者が全体の5分の１でした。物理関係の催し物やサイエンスカフェでは参加いただく年齢層が高くなる傾向にあるのですが、確かに会場を見渡すと、お子さんがたくさんのにぎやかな雰囲気で、数字にもきちんと表れていました。日本でも若い人の理科離れが深刻といわれていますので、機会を作っていくことが重要ですね。アンケート結果からはもうひとつ面白い結果が出ていました。それは、こういった物理関連の催しものに初めての参加であったという方がなんと3分の２もいらっしゃったのです。アンケートによると、皆さん「反物質」、「ヒッグス粒子」、「ILC」といった言葉を胸に帰っていかれたようです。マジシャンの前田さんのWEBサイトをご紹介しておきます。イベントに来られた前田さんファンのご意見がたくさんうかがえます。http://tmaeda.exblog.jp/9615443/。

今回のパブリックレクチャーの様子はビデオ配信が予定されているとのことです。参加いただけなかった皆様、楽しみにお待ちください。

Title page of “Discorsi e Dimostrazioni Mathematiche” in 1638

Before closing a series of “Quantification”, I have to say the quantification is not enough to study physics, of course. A good example is Einstein’s theory of relativity. As often your reading the text book, there are Galilei’s relativity principle and Einstein’s relativity one. The latter is finite light-velocity version of the former.

In the book by Galilei, “Discorsi e Dimostrazioni Mathematiche” in 1638, he even proposed to measure the speed of light using the distance of two mountains, but light was too fast to get the value. Ole Christensen Romer, a Danish astronomer, in 1676 made the first quantitative measurements of the speed of light to use a satellite of Jupiter, of which value was 214300km/s. Romer’s result that the velocity of light was finite was not fully accepted until measurements of the aberration of light were made by James Bradley in 1727, of which value was 299042km/s. In 1849, Armand Hippolyte Louis Fizeau, a French physicist, got the value 315300±500km/s on the ground to use a special apparatus with gears.In 1862, Jean Bernard Leon Foucault, a French physicist, got 298000±500km/s with mirrors system.

We can see the quantification of the speed of light was already well done in the middle of 19th cent. Light was also identified as the electro-magnetic wave from its value of the speed. Nobody, however, realized it had a special meaning that light had finite speed. Maxwell’s equations of the electromagnetism obeys the version of the relativity principle with the finite speed of light, but Newton’s eq. of motion does not! This observation caused Einstein to postulate the speed of light in free space is the same for all observers. It was leap to the modern physics. So the quantification is indispensable but not enough to reach to physics.

The first part of the paper on the theory of special relativity by Einstein, Annalen der Physik, 17(1905)

物理における「数値化」の重要性シリーズを終える前に、「数値化」だけでは不十分であることは
当然なので、例をあげておこうと思います。それはまさにアインシュタインの相対性理論がそうなのです。
よく本などでガリレオの相対性原理とアインシュタインの相対性原理というものが出てきますが、
その違いは、光が無限に速いか、有限の速度を持つと考えるかの違いです。

ガリレオは1638年の「新科学対話」の中で、光の速度を測る実験を提案しています。それは遠くに離れた山の頂上の一方で、光をつけたり消したりすることで、もう一方の人がその時間差から光の速度を測ろうというものでした。当然、光の速度は速すぎて、値は得られませんでした。その後、デンマーク人で天文学者であったレーマーが1676年に木星をまわる衛星イオの見え方から人類史上初めて光の速度を測定し、214300km/秒であるとしました。この光の速度が有限であるという結果は1727年にブラッドレイが光路差を使い、その速度が299042km/秒であるとの測定がなされるまで、完全には受け入れられませんでした。1849年にはフランスの物理学者フィゾーが歯車の回転を使った装置を考案し、それまでは天体の観測によってしか測られていなかった光速度が地上で初めて測定されることとなり、その値は315300＋/-500km/秒と、また、同じくフランスの物理学者であったフーコーが鏡を使った実験により、298000+/-500km/秒であるとしています。

このように、19世紀の半ばにはすで光速度の数値化は十分できていました。そして、その値から光の正体が
電磁波であることもわかってきていたのです。ところが誰も光が有限な速度を持つことの真の意味を理解
していませんでした。電磁気学をあらわすマックスウェルの方程式は光速度が有限である相対性原理を
満たしていましたが、ニュートンの運動方程式は依然としてガリレイの相対性原理を満たす方程式で
しかありませんでした。この差に気がついたアインシュタインは、異なる速度で動いている慣性系であろうと、光の速度は変わらないことを原理とした「特殊相対性理論」を作りあげます。そして
これこそが、20世紀現代物理学への跳躍となったのです。「数値化」は必要なのですが、真理に到達
するには、それだけでは十分ではない良い例でした。